Bien que les voyages interstellaires ne soient pas encore d'actualité du point de vue technique, certains scientifiques réfléchissent déjà à des manières de voyager sur plusieurs années lumière afin de rejoindre de nouveaux systèmes solaires et donc de nouvelles planètes probablement habitables. Alors j'ai décidé de vous montrer comment il est possible de faire une simulation (TRÈS GROSSIÈRE) de voyage interstellaire vers le système Alpha du Centaure.

Attention : Il y aura un peu de maths dans cet article mais rien de trop compliqué. Tout est compréhensible  même sans lire les calculs 😉

Pourquoi Alpha du Centaure ?

Ben tout simplement parce que c'est le système stellaire le plus proche du notre et qu'il est situé à $d=4.37al$ c'est à dire $3.78\times 10^{16}m$.

Alpha du Centaure est un système stellaire composé de 3 étoiles :

• Alpha Centauri A : Étoile principale du système, celle-ci est semblable au Soleil, elle est un peu plus lourde et plus lumineuse.
• Alpha Centauri B : Étoile moins lumineuse que Alpha Centauri A, on la qualifie de naine orange.
• Alpha Centauri C : C'est la plus petite étoile du système et surtout la plus éloignée, c'est une naine rouge. On l'appelle aussi Proxima du Centaure.

De récentes observations disent qu'il y a des planètes (2 apparemment) autour de $\alpha$ Centauri B mais leur existence est très contestée. Des observations plus précises à l'avenir nous le diront. En attendant cela ne nous empêche pas de faire notre simulation.

 Quel genre de voyage ?

Pour voyager sur $4.5al$ il va nous falloir beaucoup d'énergie. Cette énergie vient du fait que nous devons contrer l'attraction du Soleil. Normalement il faudrait aussi prendre en compte la force d'attraction exercée par la Terre sur le vaisseau mais on va imaginer que le vaisseau au point de départ se situe suffisamment loin de la Terre pour que l'énergie nécessaire pour échapper à son attraction soit suffisamment faible. Aussi, tout au long du voyage on considèrera que la masse de notre vaisseau est d'une tonne. C'est un mini vaisseau et je pense que c'est déjà pas mal pour commencer 🙂

L'énergie nécessaire pour voyager vers $\alpha$ du centaure est donc de $8.88\times 10^{11} Joules$ ce qui correspond à 21 tonnes de pétrole ou encore à environ 1.7 kg d'Uranium.

Pour calculer l'énergie nécessaire pour s'éloigner du Soleil jusqu'à 4.37 années lumières de la Terre c'est très simple.

La force gravitationnelle exercée par le Soleil sur notre vaisseau d'une tonne est donnée par :  

$F_g = -G\frac{M_{sun}m_{1t}}{r^2}$

En sachant que le vaisseau spatial se situe au départ à $1.5\times 10^{11}m$ du Soleil, on détermine l'énergie nécessaire pour parcourir environ $4.37al$ de la façon suivante.

$E_{a\rightarrow b} = -\int_a^b F_g(r) \, \mathrm dx$

On a  alors $a=1.5\times 10^{11}m$ et $b=3.78\times 10^{16}m$. L'énergie nécessaire pour réaliser ce voyage est alors donnée par :

$E_{{a=1.5\times 10^{11}m}\rightarrow {b=3.78\times 10^{16}m}} = -G\frac{M_{sun}m_{1t}}{b}+G\frac{M_{sun}m_{1t}}{a}$

En remplaçant les données ($M_{sun} \approx 2\times 10^{30}kg$, $m_{1t}=1000kg$, $G\approx 6.67\times 10^{-11} SI$) on trouve $E_{{a=1.5\times 10^{11}m}\rightarrow {b=3.78\times 10^{16}m}} = 8.88\times 10^{11} Joules$.

Si notre vaisseau ne peut pas peser plus d'une tonne, on voit tout de suite qu'on ne pourra pas utiliser un moteur à propulsion à base de pétrole. En revanche il serait possible d'utiliser la fission de l'Uranium pour nous déplacer mais franchement, j'ai du mal à imaginer un réacteur nucléaire de moins d'une tonne ! On doit donc trouver une autre solution.

Depuis toujours, lorsqu'il voyageaient en mer, avant d'utiliser les bateaux à moteur, les hommes utilisaient les bateaux à voiles et se servaient de la force du vent pour avancer. Et bien nous, on va faire la même chose. Il n'y a pas de vent dans l'espace me direz vous, et bien en un certain sens si ! On utilisera le vent photonique, ou plus rigoureusement la pression des photons exercée sur le vaisseau pour se déplacer.

La pression des photons ?

Comprendre qualitativement la pression des photons (ou de radiation) ce n'est pas très compliqué (quantitativement c'est une autre histoire #PhysiqueStat). Il faut imaginer que les photons sont des particules qui contiennent une certaine énergie cinétique - donnée par la formule $E_{ph}=pc=\hbar k$ où $p$ est l'impulsion et $k = 2\pi/\lambda$ où $\lambda$ est la longueur d'onde du photon - qui vont taper contre le vaisseau spatial.

Il faut prendre en compte un autre paramètre pour parler de pression de radiation, la couleur du vaisseau spatial. Si le vaisseau spatial absorbe tous les photons dans toutes les longueurs d'onde (c'est à dire s'il est parfaitement noir), les photons vont se "coller" dans le matériau en leur transmettant l'énergie $E_{ph}$. Si maintenant le matériau en question est parfaitement réfléchissant dans toutes les longueurs d'ondes (c'est un miroir parfait) alors cette fois les photons vont transmettre au vaisseau l'énergie $2E_{ph}$ car étant réfléchis, ils font demi-tour avec la même énergie cinétique mais en se déplaçant dans le sens opposé.

En faisant des calculs ou en faisant comme moi c'est à dire en cherchant sur internet on peut trouver l'expression de la pression radiative totale exercée par un corps noir à la température $T$. On a :

$P_{rad} = \frac{4}{3}\frac{\sigma T^4}{c}$

où $\sigma = 5.67\times 10^{-8} SI$, $T_{sun}=5500K$ est la température de surface du Soleil et $c=3\times 10^8 ms^{-1}$ est la vitesse de la lumière dans le vide. Notez bien que cette formule exprime la pression exercée sur toute la surface entourant un corps noir comme le Soleil. On peut faire une analogie avec la pression totale exercée par l'air sur les parois d'un ballon.

Le vaisseau spatial

Vous avez compris que la force de gravitation tend à attirer le vaisseau vers le Soleil tandis que la force de pression radiative tend à l'en éloigner. Pour voyager vers $\alpha$ du centaure il faut donc que la force de pression radiative soit supérieure à la force d'attraction du Soleil. Il nous faut donc l'expression de la force exercée par la lumière du Soleil sur une voile de surface $s$. On a :

$F_{rad,s}=\frac{\sigma T^4 s^2}{3 \pi r^2 c}$

On sait que la formule 

$P_{rad} = \frac{4}{3}\frac{\sigma T^4}{c}$

nous donne l'expression de la pression radiative exercée par un corps noir à la température $T$ dans toutes les directions c'est à dire sur la surface $S=4\pi r^2$ ou $r$ est la distance du vaisseau au Soleil à tout instant. 

La pression radiative exercée sur le vaisseau dont les voiles sont de surface $s$ est donc donnée par : 

$P_{rad} = \frac{4}{3}\frac{\sigma T^4}{c}\frac{s}{S}$

On en déduit l'expression de la pression exercée par le soleil sur le vaisseau de surface $s$. 

$P_{rad,s}=\frac{\sigma T^4 s}{3\pi r^2 c}$

Par définition, la relation liant la force et la pression est donnée par $F_{\rightarrow s} = Ps$, on en déduit donc la force liée à la pression radiative qu'exerce le Soleil sur notre vaisseau spatial de surface $s$. 

$F_{rad,s}=\frac{\sigma T^4 s^2}{3 \pi r^2 c}$

Il faut maintenant déterminer la surface minimale que doit faire notre voile pour que notre vaisseau puisse s'éloigner du Soleil, vous allez voir que c'est techniquement difficile à faire.

On applique notre célèbre principe fondamental de la dynamique au vaisseau spatial, on a :

$m_{1t}\frac{d^2r}{dt^2}=F_{rad,s}+F_g=\frac{1}{r^2}\left(\frac{\sigma T^4 s^2}{3 \pi c} - Gm_{1t}M_{sun}\right)$

Notre vaisseau s'éloignera du Soleil seulement si $\frac{\sigma T^4 s^2}{3 \pi c} > Gm_{1t}M_{sun}$ c'est à dire si :

$s > \frac{1}{T^2}\sqrt{\frac{3\pi cGm_{1t}M_{sun}}{\sigma}} \approx 2.69\times 10^{12} m^2$

La surface minimale totale que doivent faire les voiles est impressionnante ! Elle correspond à un carré d'environ 1640 km de côté !

Il faut donc trouver un matériaux suffisamment léger et résistant pour construire une voile dont la surface est plus de deux fois celle de la France mais dont la masse n'excède pas une tonne ! Bon courage aux scientifiques qui travailleront sur ce projet si il voit le jour ;).

Dans notre cas on fera l'approximation que la surface de notre voile est de $s=3\times 10^{12} m$.

Le voyage !

Maintenant que nous avons estimé la surface de la voile nécessaire pour propulser notre vaisseau d'une tonne, on va pouvoir simuler notre voyage. Place à la programmation !

Avant de simuler le voyage, on effectue un petit bilan des forces exercées sur le vaisseau en fonction de la distance parcourue.

Ce qu'il est important de constater sur le graphe précédent c'est que la force de propulsion totale exercée sur le vaisseau est "importante" seulement sur 150 millions de kilomètres environ. Ensuite, le vaisseau continue toujours d'accélérer mais beaucoup plus lentement.

On constate donc que la vitesse du vaisseau spatial augmente assez rapidement au début pendant environ 6 mois puis celui-ci finit par accélérer plus lentement et semble se stabiliser à une vitesse de presque 20 000 mètres par seconde au bout de deux ans de voyage. Il y a deux choses à noter :

• La première est que la vitesse ne finit jamais d'augmenter car il y a toujours une force qui s'exerce sur le vaisseau quelque soit sa distance au soleil.
• La seconde est que ici j'ai effectué une simulation en me basant sur de la physique classique. A 20 000 mètres par seconde, des effets relativistes commencent à se faire ressentir. En réalité la vitesse augmente un tout petit peu plus lentement et plus elle augmente, plus elle augmente lentement et on observe une asymptote horizontale à 300 000 mètres par seconde.

En négligeant l'erreur relativiste qui augmente en fonction de la distance, on peut approximativement déterminer le temps que le vaisseau mettra pour aller sur $\alpha$ du Centaure sachant que le système stellaire est situé à 4.37 années-lumière du Soleil.

Finalement, on peut en déduire le temps que mettra le vaisseau pour aller jusqu'au système $\alpha$ du Centaure.

On voit que le vaisseau atteindra $\alpha$ du Centaure en 2950 années environ. Le calcul semble assez réaliste. De plus, en sachant que la lumière met environ 4.37 années pour atteindre le système, on se rend compte que l'erreur relativiste est très faible < 0.1% étant donné le temps de voyage du vaisseau.

Une simulation très grossière !

On a trouvé en combien de temps notre vaisseau peut atteindre le système $\alpha$ du Centaure mais on a totalement oublié l'action attractive du système - dont la masse est notablement supérieure à celle du Soleil (plusieurs masses solaires) - sur le vaisseau mais également son action répulsive due à la pression de radiation qui est presque  égale à celle du Soleil.

En réalité, le vaisseau finirait par se retrouver coincé entre le système solaire et le système $\alpha$ du centaure précisément à l'endroit où les forces se compensent. Pour pallier ce problème il ne faudra pas oublier de replier ou de larguer les voiles à mi-chemin environ. En fonction du type de mission que nous cherchons à faire (atterrissage sur une planète, orbite autour de l'étoile ...) il y aura d'autres paramètres à prendre en compte comme la présence de moteurs (qui pèsent généralement lourd) qui rendent l'équation compliquée.

Il y a évidement de très nombreux autres paramètres que nous avons oublié de prendre en compte mais c'est normal car les calculs deviennent extrêmement compliqués et mon ordinateur et mon temps libre ne suffiraient absolument pas pour réaliser une vraie simulation sophistiquée de voyage vers le système $\alpha$ du Centaure ! 🙂

Voilà pour ce petit article sur la simulation du voyage vers $\alpha$ du Centaure. Le but principal de cet article était de vous montrer "comment" on fait de la Physique - en faisant des analyses plus ou moins grossières et en obtenant finalement des résultats qui ont du sens - et également de vous donner un petit aperçu de ce à quoi il faut penser en premier lorsqu'on prépare un voyage interstellaire.

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Annexe : Comment réaliser la simulation ?

La difficulté dans cet exercice est de transformer le principe fondamental de la dynamique - qui est une équation différentielle pour la distance Soleil-Vaisseau - en un algorithme récurrent à faire compiler par l'ordinateur.

Le PFD est donné par :

$m_{1t}\frac{d^2r}{dt^2}=F_{rad,s}+F_g=\frac{1}{r^2}\left(\frac{\sigma T^4 s^2}{3 \pi c} - Gm_{1t}M_{sun}\right)$

La variable à discrétiser ici est $\frac{d^2r}{dt^2}$. C'est une chose simple car on a déjà vu dans de précédents articles que l'on peut écrire : 

$\frac{d^2r(t_1)}{dt^2} = \frac{r(t_2)-2r(t_1)+r(t_0)}{(\Delta t)^2}$

En remplaçant cette expression dans le PFD on obtient la relation de récurrence du système : 

$r(t_2) = \left(\frac{\Delta t}{r(t_1)}\right)^2\left(\frac{\sigma T^4 s^2}{3 \pi c m_{1t}} - GM_{sun}\right) + 2r(t_1)-r(t_0)$

Il nous suffit ensuite d'initialiser les deux premières valeurs de $r$ et de donner cette équation sous forme numérique à l'ordinateur et le tour est joué ! 

Pour obtenir la vitesse, j'ai juste posé : $v(t_1) = \frac{r(t_2)-r(t_0)}{2\Delta t}$.

Je vous partage les deux programmes python 3.5 que j'ai utilisé (Cliquez là : Voyage interstellaire). Si vous ne comprenez pas ce que j'ai fait, n'hésitez pas à m'envoyer un e-mail pour plus de précisions 😉