La relativité restreinte (ou spéciale), est une théorie de l'espace et du temps. Cette théorie est extrêmement étrange car elle propose une version de la réalité qui n'a rien à voir avec notre intuition. Effectivement, personne de son vivant n'aurait imaginé sans avoir fait de calculs que le temps et l'espace sont liés d'une manière immuable...

C'est pourtant bien ce qu'ont montré les physiciens du XXème avec Einstein et Maxwell en particulier qui ont travaillé à rendre les équations de l'électromagnétisme invariantes par changement de référentiel inertiel. Évidemment, ils n'ont pas été seuls dans cette aventure et pour la partie historique, je vous renvoie vers mon premier article sur cette théorie : "Histoire de la relativité restreinte".

Ce que ces physiciens ont démontré puis expérimenté dans la suite est sidérant ! Alors que nous savions que la vitesse de la lumière n'était pas infinie mais de quelque chose comme $300~000~\rm{km}~\rm{s}^{-1}$, Einstein & Co. ont montré que cette vitesse est INVARIANTE par changement de référentiel inertiel !

Mais qu'est ce que ça veut dire ? Voyons cela avec un schéma :

Supposons comme sur ce schéma que vous observez la lumière provenant d'une étoile. Dans le référentiel considéré, vous êtes fixe et l'étoile aussi. Si vous faites une mesure de la vitesse de la lumière qui provient de cette étoile, vous allez voir que sa vitesse est égale à $c$.

Maintenant supposons que par rapport au référentiel considéré (dans lequel l'étoile est fixe) vous êtes en mouvement à la vitesse $v$. Pensez vous que la lumière vous parviendra à la vitesse $c+v$ ? Ben non ! Elle arrivera bien à la vitesse $c$. Vous pouvez faire la mesure si vous souhaitez vous en convaincre.

Alors comment cela est-il possible ?

C'est ce que nous allons voir au cours de cet article. On verra que la réponse à cette question se trouve dans la nature de l'espace-temps qui est un objet bien singulier.

Invariance de la vitesse de la lumière

Nous avons vu dans le schéma précédent que même si nous ne sommes pas immobile par rapport à la source lumineuse, la vitesse est photons qui nous parviennent - ou encore la célérité de l'onde électromagnétique - est de $c \approx 300~000~\rm{km}~\rm{s}^{-1}$.

La non-additivité des vitesses

Ce phénomène a une conséquence grave dans la vie de tous les jours (si vous vous déplacez suffisamment rapidement). Cette conséquence est la non-additivité des vitesses.

Mais qu'est ce que c'est encore ?

Ben voyons ça avec un deuxième schéma :

Supposons qu'une fusée provient d'une planète $A$ et souhaite voyager vers la planète $B$. Le problème est que la planète $A$ s'éloigne de la planète $B$ de $100~\rm{km}~\rm{s}^{-1}$. La fusée dans le référentiel $(R')$ de la planète $A$ doit donc avoir une vitesse supérieure à celle qui éloigne les deux planètes pour pouvoir atteindre un jour la planète $B$. On suppose donc qu'elle se déplace par rapport à la planète $A$ à la vitesse de $110~\rm{km}~\rm{s}^{-1}$ dans la direction de la planète $B$.

Supposons maintenant que nous sommes un observateur situé sur la planète $B$ et que nous cherchons à déterminer la vitesse à laquelle la fusée s'approche de nous. Quelle est-elle ?

Au premier abord, nous avons envie de dire $110-100 = 10~\rm{km}{s}^{-1}$ mais c'est faux ! (Disons pas totalement vrai ici). La vitesse exacte à laquelle nous verrions approcher la fusée est de $10.0000013~\rm{km}~\rm{s}^{-1}$ !

Cette valeur est faible car les vitesses présentées ici sont faibles devant celle de la lumière ($100/300 000 \approx 3\times 10^{-4}$) mais lorsque celles-ci deviennent du même ordre de grandeur on ne peut plus négliger ces phénomènes relativistes et l'addition des vitesses ne fonctionne plus du tout.

Prenons un autre exemple qui vous convaincra une bonne fois pour toutes de l'erreur créée par une simple addition des vitesses.

Supposons que nous sommes sur une planète fixe dans un référentiel $(R)$ et que nous observons deux fusées ultra-rapides qui se croisent toutes deux à des vitesses - relativement au référentiel $R$ - de $\pm 290~000~\rm{km}~\rm{s}^{-1}$. A quelle vitesse, l'observateur situé dans la fusée $A$, verra arriver la fusée $B$ ?

$580~000~\rm{km}~\rm{s}^{-1}$ ? Bien-sur que non ! Rien ne peut dépasser la vitesse de la lumière. La vitesse réelle est en faite de $299~896~\rm{km}~\rm{s}^{-1}$ ! On est proche de la vitesse de la lumière mais on ne l’atteint pas. On voit aussi que cette fois le calcul relativiste est nécessaire pour comprendre ce qu'il se passe de manière précise.

On comprend également que si les deux fusées étaient des photons de vitesse $c$, alors la vitesse à laquelle l'un verrait l'autre serait obligatoirement $c$.

Contraction des longueurs et dilatation du temps

L'invariance de la vitesse de la lumière dans le vide n'est pas sans conséquence. Si vous avez fait un peu de physique à l'école, vous savez très certainement que l'on exprime une vitesse par la formule $v=\Delta d/\Delta t$ où $\Delta d$ est un intervalle de distance et $\Delta t$ un intervalle de temps. On voit alors que si $v$ est invariant par changement de référentiel inertiel (ou invariant relativiste), alors si $\Delta d$ augmente, $\Delta t$ diminue et vice-versa.

On reconnaît tout de suite les concepts de contraction des longueurs et de dilatation du temps, mais voyons un exemple plus parlant.

Événement de genre temps

Imaginons la situation suivante. Un satellite envoi un signal lumineux vers un miroir immobile par rapport à ce dernier. Le signal est envoyé à l'instant $t_1$, et revient vers le satellite à l'instant $t_2$. La période du phénomène et donc $\Delta t = t_2 - t_1$. On peut calculer $\Delta t$ à partir des informations que l'on connaît c'est à dire la distance qui sépare le satellite du miroir et la vitesse de la lumière. On a alors $\Delta t = 2d/c \approx 0.0067 \rm{s}$.

Maintenant, on imagine que le satellite n'est plus fixe par rapport au miroir, on se place dans le référentiel en mouvement du satellite. Il se déplace parallèlement à son plan d'incidence à la vitesse $v=1~000~\rm{km}~\rm{s}^{-1}$. Le signal est émis à un instant $t_1'$ et est reçu par le satellite à l'instant $t_2'$ soit un phénomène d'une période $\Delta t' = t_2'-t_1'$. Le signal ne parcours pas la même distance que dans le premier exemple. Ici la distance parcourue par le rayon lumineux est $s = 2\sqrt{\left((v\Delta t'/2)^2 + d^2\right)}$. On a alors $\Delta t' = s/c = 2\sqrt{\left((v\Delta t'/2)^2 + d^2\right)}/c$.

Finalement, après quelques calculs on obtient la relation :

$\Delta t' = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\frac{2d}{c}$

Que l'on peut réécrire comme :

$\Delta t' = \gamma \Delta t$ avec $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

On voit donc que lorsque le satellite est en mouvement, la période du phénomène change d'un facteur $\gamma$ que l'on appelle facteur de Lorentz. Ce facteur est extrêmement important en relativité car c'est à travers celui-ci que s'exprime la dilatation du temps et la contraction des longueurs, mais c'est aussi lui qui détermine si un phénomène est "relativiste" ou non. C'est à dire si on a le droit ou non d'utiliser la mécanique classique pour décrire un phénomène de manière précise. $\gamma = 1$ pour un phénomène dit "classique" et $\gamma \rightarrow \infty$ pour un phénomène dit "ultra-relativiste".

Dans notre cas de figure, $\gamma = 1.000005$. Le phénomène est donc considéré comme classique sauf si le satellite requiert de mesurer le signal de manière extrêmement précise. Ce qui est généralement le cas. Dans le référentiel fixe du miroir, les temps de départ et d'arrivée du signal restent inchangés, si tant est que l'on est capable de diriger l'émission du signal depuis le miroir.

Je vous ai présenté ce que l'on appelle un événement de genre "temps", c'est à dire dont les échelles de temps changent mais les échelles de distances ne changent pas. Voyons maintenant le contraire, c'est à dire un événement de genre "espace".

Événement de genre espace

Un observateur fixe regarde une fusée. Dans un premier temps cette fusée est fixe et sa taille est de $\Delta x = 50~\rm{m}$. Un peu plus tard, il voit ensuite la même fusée mais se déplaçant à la vitesse vertigineuse de $v = 50~000~\rm{km}~\rm{s}^{-1}$. La fusée passe tellement vite qu'il a du mal à estimer la taille de cette dernière. Alors combien mesure t-elle ? $50~\rm{m}$ ? Non.

En effectuant un raisonnement très similaire à celui du satellite et du miroir, on obtient la formule très importante de la contraction des longueurs $\Delta x' = \Delta x/\gamma$.

Sachant que dans cette situation $\gamma = 1.03$, on trouve alors $\Delta x' = 48.6~\rm{m}$ soit une contraction de $1.4~\rm{m}$. Impressionnant non ?

Cela veut dire que si un jour vous avez l'occasion de vous déplacer à une vitesse proche de celle de la lumière, vous verrez le monde qui se contracte dans la direction de votre déplacement !

Résumé :

• Tout événement est caractérisé par un facteur $\gamma$ qui définit son caractère relativiste ou non par rapport à un référentiel d'étude.
• Ce facteur $\gamma$ vaut $1$ pour un événement "classique" et devient grand pour un événement relativiste.
• Un changement de référentiel en relativité restreinte se caractérise par une dilatation du temps ($\Delta t' = \gamma \Delta t$) et une contraction des longueurs ($\Delta x' = \Delta x/\gamma$).

On pourrait discuter de la théorie de la relativité restreinte beaucoup plus en détail mais je ne le ferai pas dans cet article.

Tout ceci est magnifique me direz vous mais puisqu'on ne le "voit" pas à notre "échelle", pourquoi en parle t-on ? Hé bien sachez que la théorie de la relativité restreinte se manifeste très bien et de manière parfaitement visible à notre échelle, laissez moi vous présenter quelques exemples...

Conséquences physiques

Principe d'équivalence masse-énergie

Une des conséquences fondamentales de la relativité restreinte est reliée au principe d'équivalence masse-énergie. Ou encore la célèbre formule d'Einstein - connue sous la forme $E = mc^2$ - écrite précisément par $\Delta E = \sqrt{\Delta m^2c^4+\Delta p^2c^2}$ où $\Delta m$ correspond à une variation de masse et $\Delta p$ correspond à une variation de quantité de mouvement ($p = mv$ en mécanique classique).

C'est grâce à cette dernière que vous avez - pour la plupart - de l'électricité dans vos maisons. Effectivement, les centrales nucléaires utilisent l'énergie résultante de la fission d'atomes d'Uranium instables pour alimenter le pays.

Lorsqu'un atome lourd de masse $M$ fissionne, il se casse généralement en deux morceaux de masse $m_1$ et $m_2$ tels que :

$M > m_1 + m_2$

On observe qu'il n'y a pas de conservation de la masse du système. Mais ou est passé la masse manquante ?

$M = m_1 +m_2+m_\rm{manquante}$

Cette masse a été convertie en énergie c'est à dire en quantité de mouvement. La masse manquante à été transformée en énergie cinétique d'un des deux constituants ou/et en un photon pourquoi pas !

Effet Doppler relativiste

Une autre conséquence fondamentale de la relativité restreinte est l'effet Doppler relativiste. Cet effet existe déjà en mécanique classique mais la version relativiste apporte une correction non-négligeable au décalage spectral. Pour plus de détails, je vous reporte à mon article sur la mesure des distances stellaires.

Supposons qu'un observateur voit un photon issu d'une étoile fixe par rapport à ce dernier. Sa longueur d'onde est de $\lambda_0 = 500~\rm{nm}$ ce qui équivaut à peu près au jaune.

Si l'observateur observe le même photon mais issu d'une étoile qui s'éloigne de ce dernier à la vitesse $v=1~000~\rm{km}~\rm{s}^{-1}$, il verra un photon dont la longueur d'onde sera plus élevée ($\lambda_1 = 502~\rm{nm}$), c'est à dire une énergie plus faible. On parle de redshift (décalage vers le rouge).

Si maintenant il observe ce même photon mais issu d'une étoile qui se rapproche à la vitesse $v=1~000~\rm{km}~\rm{s}^{-1}$, il verra un photon plus énergétique de longueur d'onde $\lambda_2 = 498~\rm{nm}$. On parle de blueshift (décalage vers le bleu).

On voit donc que même si la vitesse de la lumière est $c$ dans n'importe quel référentiel inertiel, l'émission d'un objet en mouvement n'est pas sans conséquence sur la nature (l'énergie) du photon vu par l'observateur fixe.

Paradoxe de Langevin

Pour terminer je voudrais vous parler d'un paradoxe connu associé à la relativité restreinte. En 1911, Paul Langevin présente au congrès de Bologne une expérience de pensée basée sur la relativité restreinte.

Supposons que nous avons deux jumeaux de 20 ans sur Terre. L'un décide de faire un très long voyage à une vitesse proche de celle de la lumière. La dilatation du temps veut que le temps passe plus rapidement sur Terre (fixe) que dans le vaisseau spatial (en mouvement). Le jumeau sur Terre vieillira donc plus vite que le jumeau qui a voyagé. Ceci semble totalement absurde mais c'est une conséquence de la relativité restreinte.

Et bien maintenant je vais vous présenter une situation encore plus absurde. Et si je me met dans le référentiel du jumeau qui voyage, que se passe t-il ?

Dans le référentiel du jumeau qui voyage, c'est la Terre qui est en mouvement. La conséquence est que le temps passera plus lentement sur Terre que dans le vaisseau et donc, le jumeau voyageur se retrouvera être plus vieux que son frère !

Mince alors ! Mais qui donc à raison ?

Je vous laisse y réfléchir, je vous donnerai certainement une explication plus tard.

Voilà pour ce petit aperçu de la relativité restreinte. Évidement on peut aller beaucoup plus loin dans les concepts mais je voulais vous présenter les principes de base de la relativité à savoir la dépendance de espace et du temps que l'on qualifie généralement d'espace-temps.

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Pour ceux qui souhaitent aller plus loin, voici une petite liste de liens sur le sujet :

• Astronomie et Astrophysique
• Astrosurf
• Astronomia
• Notes de cours de l'ENS

Lire ensuite : Le problème de l'énergie du vide