Le problème à deux corps


Le problème à deux corps est un des modèles des plus importants de toute la physique car il est intimement relié à la conservation de l'énergie d'un système et surtout parce qu'on sait résoudre de façon exacte les équation du mouvement de deux objets en rotation l'un autour de l'autre. On retrouve ce modèle en astronomie, en astrophysique, en mécanique quantique et dans beaucoup d'autres domaines qui font intervenir des mouvements périodiques (et dieu sait qu'il y en a ...).

En général on étudie en physique le modèle à deux corps avec les mathématiques afin de comprendre les différentes trajectoires possibles que peuvent prendre deux objets qui s'attirent ou qui se repoussent. Mais les calculs sont difficiles et ne sont pas compréhensibles par n'importe qui, du coup je vous ai préparé une petite simulation numérique en python pour vous montrer en particulier ce qu'il se passe quand deux objets s'attirent entre eux.

L'intérêt de la simulation - en dehors du fait que nous n'avons pas besoin de faire trop de mathématiques - est qu'elle nous permet de visualiser directement des trajectoires non-triviales que nous ne pourrions pas déterminer analytiquement. En particulier, lorsqu'on étudie analytiquement le problème à deux corps en mécanique classique, on se place toujours dans le référentiel de l'objet le plus lourd, ou dans le meilleur des cas dans le référentiel du centre de masse. Mais en réalité lorsque vous observez un système binaire dans le ciel (deux étoiles tournant l'une autour de l'autre par exemple), vous ne vous situez absolument pas dans le référentiel du centre de masse, vous verrez alors les deux objets tourner l'un autour de l'autre et à ces mouvement s'ajoutera un mouvement de translation du système à vitesse constante. C'est ce que vous allez constater dans les simulations.

Les orbites

Le programme que j'ai créé est plutôt optimisé pour représenter l'interaction gravitationnelle bien qu'en le modifiant un peu on puisse également modéliser une interaction coulombienne. Qui dit gravitation dit orbites ! Les orbites sont les solutions les plus simples des problèmes à deux corps. Voyons physiquement ce qu'elles représentent.

L'orbite circulaire

Orbite circulaire

Il n'y a pas de secret, je pense que vous savez à quoi ressemble une orbite circulaire. Ce qui est intéressant en revanche, ce sont les paramètres de la simulation qui ont permis d'obtenir cette orbite circulaire. Rappelez vous que nous ne sommes ni dans le référentiel de l'objet le plus lourd, ni dans le référentiel du centre de masse mais dans un autre référentiel indépendant de ces deux paramètres.

La caractéristique principale de cette simulation est le rapport des masses des deux objets. Celui qui est fixe possède une masse bien plus élevée que celui qui orbite. Ensuite, nous avons la vitesse initiale du second objet qui doit être choisie de telle manière que sa trajectoire forme un cercle, celle-ci dépend en particulier de sa distance à l'objet le plus lourd.

212110

En pratique nous avons l'orbite que forme la Terre avec le Soleil. Cependant, et on ne le voit pas sur la simulation, mais l'objet central n'est pas fixe, il oscille avec une très petite amplitude et l'orbite n'est pas totalement circulaire car le système n'est pas parfait. Effectivement, la Terre exerce une certaine force sur le Soleil presque imperceptible mais présente, de plus son orbite est très légèrement excentrée, il y a environ 2 million de kilomètres de différence entre l'aphélie et la périhélie.

L'orbite elliptique

ellipse

Dans cette situation nous n'avons plus une orbite circulaire mais une orbite elliptique. Dans cette simulation je n'ai pas touché au rapport des masses qui est toujours très élevé (l'objet au centre bouge très peu), en revanche j'ai changé la vitesse initiale de l'objet en orbite. La vitesse a diminué alors que la distance objet massif objet léger était maximale ce qui fait que l'objet léger ne peut que se rapprocher de notre objet lourd en accélérant puis, lorsque la distance séparant les deux objets est minimale, le plus léger s'éloigne en ralentissant.

J'aurais également pu refaire cette simulation en ne touchant pas à la vitesse mais en augmentant juste la distance qui sépare les deux objets. Effectivement, pour les connaisseurs, l'accélération centripète dans cette situation est approximativement donnée par v^2/r. Pour avoir une ellipse, il faut qu'elle soit inférieure à la force qu'exerce l'objet lourd sur l'objet léger. Il faut donc soit diminuer la vitesse soit augmenter la distance.

pluton_orbite

En pratique, toutes les planètes sont concernées par les orbites elliptiques mais il y en a une en particulier dont l'orbite est très fortement excentrique. La distance séparant Pluton au Soleil varie entre 29ua et 49ua (1ua = 150~000~000~km). Elle n'est évidement pas la seule à avoir une orbite aussi excentrique, on trouve tout un tas d'objets dans l'univers qui ont des orbites de ce genre. L'orbite excentrique c'est la deuxième solution "triviale" pour faire simple.

Les systèmes binaires

J'ai appelé cette partie "les systèmes binaires" pour faire le lien avec les systèmes binaires d'étoiles ou d'objets astrophysiques plus complexes comme des trous noirs par exemple mais une interaction à deux corps est par définition un système binaire, ce sous-titre est donc un abus de langage.

Je vous présente cette partie car à la différence des deux précédentes, le rapport des masses des proche de 1. En gros, les objets qui orbitent l'un autour de l'autre ont une masse presque égale. Aussi, n'oubliez pas que initialement, seul un objet possède une vitesse non-nulle, et vous allez avoir une surprise 😉 .

m_presqu_egales

Voici ce qu'il ce passe lorsqu'on garde l'excentricité de l'orbite de l'objet léger mais qu'on réduit fortement le rapport des masses (~1/10). On observe que l'objet "lourd" qui au départ était fixe se met à bouger. Et on constate que le système présente un mouvement de translation vers le haut. Ce mouvement ne vient pas de nul part, il est en-fait associé aux conditions initiales de la particule légère. La vitesse et la direction de translation du système est exactement celle que j'ai donné à ma particule légère.

D'ailleurs en regardant bien les trajectoires, on se rend compte que celle de l'objet qui au départ était fixe est différente de celle de l'objet qui au départ était mobile (indépendamment du rapport des masses). L'un décrit une spirale (une ellipse si on se place dans le référentiel de la particule fixe au départ), l'autre un mouvement en forme de "cloche".

Pour aller plus loin, les points de discontinuité de la masse qui était fixe au départ correspondent exactement aux points ou la masse mobile se situait à l'instant initial, et ce de façon périodique. Ce qu'on reconnait ici, c'est la conservation de l'énergie - impulsion du système.

masses_egales

Cette simulation présente les mêmes caractéristiques que la dernière à la différence que maintenant les masses sont égales. Le système est toujours en translation, on observe maintenant que les deux objets semblent en opposition de phase en terme de position ce qui est normal car le barycentre du système possède un mouvement rectiligne uniforme qui correspond à la vitesse initiale de l'objet mobile.

290px-Orbit5

En pratique c'est ce que l'on observe beaucoup dans le cas de systèmes d'étoiles. Ces systèmes sont très précieux car, le problème de Kepler étant entièrement résolu, on peut obtenir de très nombreuses informations sur les étoiles en jeu telles que la masse, la luminosité, la vitesse radiale ... .

Les collisions

Jusqu'à présent nous avons vu des systèmes dits liés, c'est à dire qui possèdent une certaine périodicité et qui, si ils ne sont pas perturbés, restent stables pendant une durée infinie. Mais évidement l'interaction gravitationnelle ne s'arrête pas là. Il existe des situations ou par exemple une comète est déviée de sa trajectoire sous l'effet de l'attraction terrestre. Ou de manière plus spectaculaire, il existe des situations ou deux galaxies entrent en collision et alors là, c'est le vrai foutoir ! Il y a d'ailleurs pas mal de Physiciens qui travaillent sur ce genre de phénomènes ou des amas de particules entrent en collision... .

Nous allons voir ces choses là mais de manière un peu plus simple puisqu'on reste dans le cadre des équations de Kepler du problème à deux corps. Tout à l'heure on a parlé des systèmes liés, ben maintenant on va parler des systèmes libres. Si l'on ne se place pas dans le référentiel du centre de masse ou dans le référentiel d'un des deux corps, les équations se compliquent sérieusement d'où l'intérêt de la simulation.

meme_masse

Dans ce cas de figure, le corps situé à droite possède une vitesse initiale nulle tandis que le corps de gauche possède une vitesse initiale horizontale dirigée à droite. Les deux corps ont la même masse. On constate que l'angle de déviation du corps initialement mobile est moins important que celui du corps initialement au repos. Ceci vient en fait de l'énergie totale du corps, étant donné que le corps initialement mobile possède une énergie cinétique initiale non nulle, il est forcément moins dévié sous l'effet du potentiel gravitationnel créé par l'autre corps.

rapport1_5

Cette fois-ci, le corps initialement mobile est 5 fois plus léger que le corps au repos donc le potentiel exercé sur celui-ci est 5 fois plus important que précédemment. L'angle de déviation est beaucoup plus important. Cependant, il semble toujours plus faible que celui de la masse au repos ce qui signifie que l'angle ne dépend pas du rapport des masses mais de la vitesse.

Rapport1_10

Dans ce dernier cas, la vitesse initiale de la particule mobile n'a pas changé mais le rapport des masses est maintenant de 1/10. On constate simplement que les angles de déviation sont plus prononcés.

rapport1_10_vitesseElevee

Enfin dans cette dernière simulation, le rapport des masses est le même mais la vitesse initiale du corps mobile est plus élevée d'un facteur 10. Elle est donc moins déviée que dans les cas précédents. Ce que ce graphe nous montre également c'est la conservation de l'impulsion et de l'énergie. On constate que les directions prises par les deux particules sont telles que la somme des directions des vecteurs vitesse correspondent à la direction du vecteur vitesse initial. Le rapport des distances parcourues est directement relié au rapport des vitesses.

Cette dernière partie est très représentative de ce qu'il se passe aux grandes échelles (mouvements entre étoiles, entre galaxies ... ) mais ne représente pas les chocs que subissent les particules qui composent un gaz en particulier parce que l'algorithme ne modélise pas la répulsion coulombienne. Cependant, il permet de faire tout un tas de choses et pour ceux qui font un peut de python, si vous voulez vous amuser avec je vous le donne en lien à la fin de l'article.

Voilà pour cet article, je n'ai pas fait très compliqué parce que en terme de simulation en physique il y a quelques fondements à voir avant de passer à des choses plus élaborées et aussi parce que les algorithmes mettent souvent pas mal de temps à faire. Mais rassurez vous on arrivera vite à des simulations intéressantes, j'ai déjà quelques idées sympa en tête 😉 .

Sur ceux j'espère que cet article vous a plu, si c'est le cas faites le moi savoir. Laissez moi un commentaire si vous avez une question ou une suggestion à faire et si vous voulez m'aider à développer le site faites moi un tout petit don ça me ferait extrêmement plaisir 🙂 .


 

 

 

 


A propos Loann Brahimi

Je suis étudiant en Master Cosmos, Champs et Particules à l'université de Montpellier. Ce blog est une manière de transmettre ma passion, une façon d'aider ceux qui voudraient faire de la physique leur gagne pain et de créer un engouement autour de cette science mal comprise.

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